Question

23、如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，AE、DC的延長線相交于點F，連接AC、BF，
（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）請你添加一個條件，使四邊形ABFC是菱形，并進行說明．

Answer 1

分析：（1）根據點E是BC的中點即可求出BE=CE，又知AB∥CD，故可得∠1=∠2，∠3=∠4，于是證得△ABE≌△FCE，進一步得到AB=CF，結合梯形的知識即可證得四邊形ABFC是平行四邊形，
（2）該問答案不唯一，添加條件可為：AC=CF或AF平分∠BAC或AE⊥BC，根據菱形的判定定理即可證得四邊形ABFC是菱形．

解答：證明：（1）∵點E是BC的中點，
∴BE=CE，
又∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
又∵梯形ABCD中 AB∥CD，
∴四邊形ABFC是平行四邊形．

（2）添加條件（不唯一）可為：AC=CF．
由（1）可知：四邊形ABFC是平行四邊形，
∵AC=AB，
∴平行四邊形ABFC是菱形．
注意：還可以添加條件：AF平分∠BAC或AE⊥BC等．

點評：本題主要考查梯形、平行四邊形和菱形的判定及全等三角形的判定與性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握各種四邊形的性質以及判定方法，此題難度不大，特別是第二問答案不唯一．