Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC.

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）求證：AC2=AD·AB；

（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=300，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。

∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。

∵AD⊥EF，∴OC⊥EF。

∵OC為半徑，∴EF是⊙O的切線。

（2）證明：∵AB為⊙O直徑，AD⊥EF，

∴∠BCA=∠ADC=90°。

∵∠DAC=∠BAC，∴△ACB∽△ADC。

∴。∴AC2=ADAB。

（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.

∵OC=OA，∴△OAC是等邊三角形。∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°。

∵在Rt△ACD中，AD=AC=1。

由勾股定理得：DC=，

∴陰影部分的面積是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×（2+1）×﹣。

【解析】

試題（1）連接OC，根據OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根據切線的判定推出即可。

（2）證△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案。

（3）求出等邊三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面積，相減即可得出答案。