Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點A，B分別在x軸，y軸上，點A的坐標為（﹣1，0），∠ABO=30°，線段PQ的端點P從點O出發，沿△OBA的邊按O→B→A→O運動一周，同時另一端點Q隨之在x軸的非負半軸上運動，如果PQ= ，那么當點P運動一周時，點Q運動的總路程為 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1， ∴AB=2，BO= = ，
①當點P從O→B時，如圖1、圖2所示，點Q運動的路程為 ，

②如圖3所示，QC⊥AB，則∠ACQ=90°，即PQ運動到與AB垂直時，垂足為P，

當點P從B→C時，
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴cos30°=
∴AQ= =2
∴OQ=2﹣1=1
則點Q運動的路程為QO=1，
③當點P從C→A時，如圖3所示，點Q運動的路程為QQ′=2﹣ ，
④當點P從A→O時，點Q運動的路程為AO=1，
∴點Q運動的總路程為： +1+2﹣ +1=4
故答案為：4
首先根據題意正確畫出從O→B→A運動一周的圖形，分四種情況進行計算：①點P從O→B時，路程是線段PQ的長；②當點P從B→C時（QC⊥AB，C為垂足），點Q從O運動到Q，計算OQ的長就是運動的路程；③點P從C→A時，點Q由Q向左運動，路程為QQ′；④點P從A→O時，點Q運動的路程就是點P運動的路程；最后相加即可．