Question

【題目】如圖所示，已知△ABC的內心為I，外心為O

（1）試找出∠A與∠BOC，∠A與∠BIC的數量關系

（2）由（1）題的結論寫出∠BOC與∠BIC的關系

Answer 1

【答案】（1）∠A=BOC．∠BIC=90°+∠A．（2）∠BIC=90°+∠BOC．

【解析】

（1）根據一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半得到∠A與∠BOC的數量關系；根據角平分線的定義以及三角形的內角和定理確定∠A與∠BIC的數量關系．
（2）根據（1）中的數量關系消去∠A即可得到兩角之間的關系．

解：（1）∠A為⊙O中弧BC所對的圓周角，由圓周角定理得∠A=BOC．
∵I是△ABC的內心，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．
（2）由（1）得∠BIC=90°+∠A=90°+∠BOC=90°+∠BOC，
即∠BOC和∠BIC的關系是∠BIC=90°+∠BOC．