Question

【題目】如圖1，矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA．

（1）求證：△OCP∽△PDA；

（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；

（3）如圖2，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N在移動過程中，線段EF與線段PB有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）10；（3）PB=2EF．

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知得到∠APO=∠B=90°，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

（3）作MH∥AB交PB于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BF=FH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PE=EH，得到答案．

（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知，∠APO=∠B=90°，

∴∠APD+∠CPO=90°，又∠APD+∠DAP=90°，

∴∠DAP=∠CPO，又∠D=∠C=90°，

∴△OCP∽△PDA；

（2）∵△OCP∽△PDA，面積比為1：4，

∴，

∴CP=4，

設(shè)AB=x，則AP=x，PD=x-4，

由勾股定理得，AD2+PD2=AP2，即82+（x-4）2=x2，

解得，x=10，即AB=10；

（3）PB=2EF．

作MH∥AB交PB于H，

∴∠PHM=∠PBA，

∵AP=AB，

∴∠APB=∠PBA，

∴∠APB=∠PHM，

∴MP=MH，又BN=PM，

∴MH=BN，又∵MH∥AB，

∴BF=FH，

∵MP=MH，ME⊥BP，

∴PE=EH，

∴PB=2EF．