Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=90°，B，C，D在一條直線上，填空：線段AD，BE之間的關系為

（2）拓展探究

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，請判斷AD，BE的關系，并說明理由．

（3）解決問題

如圖3，線段PA=，點B是線段PA外一點，PB=3，連接AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC，隨著點B的位置變化，直接寫出PC的范圍．

Answer 1

【答案】（1）AD=BE，AD⊥BE；（2）AD=BE，AD⊥BE，理由見解析；（3）1≤PC≤5.

【解析】

（1）可先證明△ACE≌△BCD，再根據全等三角形的對應邊相等可證得AE=BD，延長BD交AE于點F，由△ACE≌△BCD，再結合條件可得到∠ADF+∠FAD=90°，可得到AE⊥BD；

（2）仿照（1）先證明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，再轉換得到∠BOH+∠OBH=90°，可得到AE⊥BD；

（3）如圖3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，可得PC=BE，求出BE的范圍即可解決問題.

解：（1）結論：AD=BE，AD⊥BE，

理由：如圖1中，

∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，

∠ACB=∠ACD=90°，

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠EBC=∠CAD，

延長BE交AD于點F，

∵BC⊥AD，

∴∠EBC+∠CEB=90°，

∵∠CEB=AEF，

∴∠EAD+∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°，即AD⊥BE，

∴AD=BE，AD⊥BE，

故答案為AD=BE，AD⊥BE；

（2）結論：AD=BE，AD⊥BE，

理由：如圖2中，設AD交BE于H，AD交BC于O，

∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，

∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，

∴∠BOH+∠OBH=90°，

∴∠OHB=90°，

∴AD⊥BE，

∴AD=BE，AD⊥BE；

（3）如圖3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，

∴∠EAP=90°，

∵連接AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC，

∴AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠EAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，

∴∠EAB=∠PAC，

在△EAB和△PAC中

∴△EAB≌△PAC（SAS），

∴PC=BE，

∵PA=，

在等腰直角△PAE中，

PE=，

圖3-1中，當P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE=1，

圖3-2中，當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE=5，

∴1≤BE≤5，即1≤PC≤5.