Question

【題目】已知拋物線的頂點坐標為且經過點動直線的解析式為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線向上平移一個單位得到新的拋物線，過點的直線交拋物線于兩點(點位于點的左邊)，動直線過點，與拋物線的另外一個交點為點求證：直線恒過一個定點；

（3）已知點，且點在動直線上，若是以為頂角的等腰三角形，這樣的等腰三角形有且只存在一個，請求出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或．

【解析】

（1）先根據頂點坐標可設其解析式的頂點式，再將點代入求解即可；

（2）先根據二次函數圖象的平移得到拋物線的解析式，設點M的坐標為，分別求出直線MN、動直線的解析式，然后分別聯立兩個一次函數與拋物線的解析式，求出點P、N的坐標，最后利用待定系數法求出直線PN的解析式，由此即可得證；

（3）設點C的坐標為，先根據兩點之間的距離公式求出AB、BC的長，再根據等腰三角形的定義得出，從而可得一個關于的一元二次方程，然后利用根的判別式求解即可．

（1）拋物線的頂點坐標為

可設拋物線的解析式的頂點式為

將點代入得：，解得

故拋物線的解析式為；

（2）由題意得：拋物線的解析式為，即

設點M的坐標為

設直線MN的解析式為

將點，代入得，解得

則直線MN的解析式為

聯立

設點

則是關于x的一元二次方程的兩根

由根與系數的關系得

解得

將代入拋物線的解析式得：

即

將點代入得，解得

則動直線的解析式為

聯立

設點

則是關于x的一元二次方程的兩根

由根與系數的關系得

解得

將代入拋物線的解析式得：

即

設直線PN的解析式為

將代入得：

將代入得：

解得

則直線PN的解析式為

由此可知，當時，

即無論m取何值，直線PN恒過定點；

（3）設點C的坐標為

，

若是以為頂角的等腰三角形，則，從而有

即

整理得

因為這樣的等腰三角形有且只存在一個

所以關于的一元二次方程有兩個相等的實數根

則此方程的根的判別式

解得或．