Question

【題目】如圖，點在平行四邊形的對角線上，過點、分別作、的平行線相交于點，連接，．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）+3

【解析】

（1）由外角的性質可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因為∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得結論；

（2）作DH⊥AC于點H，由特殊角的三角函數可得∠CBE=30°，由平行線的性質可得∠2=∠CBE=30°，利用銳角三角函數可得AH，DH，由菱形的性質和勾股定理得CH，得AC．

(1)證明：∵EF∥AB,BE∥AF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形。

∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴ABEF是菱形；

(2)作DH⊥AC于點H，

∵sin∠CBE=，

∴∠CBE=30，

∵BE∥AC，

∴∠1=∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠2=∠1，

∴∠2=∠CBE=30，

Rt△ADH中，AH== ，

DH=∠2=4，

∵四邊形ABEF是菱形，

∴CD=AB=BE=5，

Rt△CDH中,CH=

∴AC=AH+CH=+3.

故答案為：+3.