Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD中，對角線AC平分∠DCB，且AD＝AB，CD＜CB

（1）求證：∠B+∠D＝180°；

（2）如圖2，在AC上取一點E，使得BE∥CD，且BE＝CE，點F在線段BC上，連接AF，且AB＝AF，求證：AE＝CF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若BE與AF交于點G，BF：AB＝2：7，求tan∠BGF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如圖4中，作AE⊥BC于E，作AF⊥CD交CD的延長線于F，先根據AAS證明△ACF≌△ACE，推出AF＝AE，再根據HL證明Rt△AFD≌Rt△AEB，可得∠ADF＝∠B，進一步即可證得結論；

（2）如圖5中，作AM∥EB交CB的延長線于M，利用平行線的性質和等腰三角形的性質可證得∠CEB＝∠ECB＝∠EBC，則△BCE是等邊三角形，進一步即可證得△ACM也是等邊三角形，進而可得AE＝BM，然后根據AAS可證明△ACF≌△AMB，可得CF＝BM，繼而可得結論；

（3）如圖6中，作AM⊥BC于M，FK⊥BE于K，FN∥BE交AC于N．設BF＝2a，AB＝7a，進而可用a的代數式依次表示出FM、BM、AM、CM，易證△CNF是等邊三角形，進一步即可表示出FN、EN，易得△AEG∽△ANF，然后利用相似三角形的性質即可用含a的代數式表示出EG，進而可得GB，而在直角△BFK中，FK、BK易得，問題即得解決．

解：（1）證明：如圖4中，作AE⊥BC于E，作AF⊥CD交CD的延長線于F．

∵∠AFC＝∠AEC＝90°，∠ACF＝∠ACE，AC＝AC，

∴△ACF≌△ACE（AAS），∴AF＝AE，

∵AD＝AB，∠F＝∠AEB＝90°，

∴Rt△AFD≌Rt△AEB（HL），∴∠ADF＝∠B，

∵∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°；

（2）證明：如圖5中，作AM∥EB交CB的延長線于M．

∵BE＝EC，∴∠ECB＝∠EBC，

∵CD∥BE，∴∠DCE＝∠CEB，

∵∠DCE＝∠ECB，

∴∠CEB＝∠ECB＝∠EBC＝60°，

∴△ECB是等邊三角形，

∵EB∥AM，∴∠CEB＝∠CAB＝60°，∠CBE＝∠M＝60°，

∴△ACM是等邊三角形，∴CA＝CM，

∵CE＝CB，∴AE＝BM，

∵AF＝AB，∴∠AFB＝∠ABF，∴∠AFC＝∠ABM，

又∵AC＝AM，∠ACF＝∠M＝60°，

∴△ACF≌△AMB（AAS），

∴CF＝BM，∴AE＝CF；

（3）解：如圖6中，作AM⊥BC于M，FK⊥BE于K，FN∥BE交AC于N．

∵FB：AB＝2：7，∴設BF＝2a，AB＝7a，

∵AF＝AB，AM⊥BF，∴FM＝BM＝a，

∴AM＝，

∵∠ACM＝60°，∴AM＝CM，∴CM＝4a，CF＝AE＝CM－FM＝3a，

∵FN∥BE，∴∠CNF＝∠CEB＝60°，∠CFE＝∠CBE＝60°，∴△CNF是等邊三角形，

∴CF＝CN＝FN＝3a，EN＝BF＝2a，AN=AE+EN=5a，

∵EG∥FN，∴△AEG∽△ANF，∴，即，

∴EG＝a，BG＝EB﹣EG＝5a﹣a＝a，

在Rt△BFK中，∵BF＝2a，∠FBK＝60°，∴BK＝a，FK＝a，

∴GK＝BG﹣BK＝a﹣a＝a，

∴tan∠FGB＝=．