Question

【題目】已知△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，方程cx2+bx﹣a=0是關于x的一元二次方程．

（1）判斷方程cx2+bx﹣a=0的根的情況為 （填序號）；

①方程有兩個相等的實數根；

②方程有兩個不相等的實數根；

③方程無實數根；

④無法判斷

（2）如圖，若△ABC內接于半徑為2的⊙O，直徑BD⊥AC于點E，且∠D=30°，求方程cx2+bx﹣a=0的根；

（3）若x=a是方程cx2+bx﹣a=0的一個根，△ABC的三邊a、b、c的長均為整數，試求a、b、c的值．

Answer 1

【答案】（1）②；（2），．（3）a=2，b=3，c=2．

【解析】

試題分析：（1）先計算判別式的值得到△=b2+4ac，由于a、b、c為三角形的邊長，則△＞0，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況；

（2）連接OA，如圖，根據垂徑定理，由BD⊥AC得到，弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，再利用圓心角、弧、弦的關系得到AB=CB，利用圓周角定理得到∠ABD=∠DAC=60°，則可判斷△OAB為等邊三角形，得到AB=OB=2，AE=OB=，所以AC=2AE=2，即a=2，b=2，c=2，然后利用求根公式法解方程2x2+2x﹣2=0；

（3）根據一元二次方程根的定義，把x=a代入cx2+bx﹣a=0后變形得到=4﹣b，易得b＜4，利用a、b、c的長均為整數得到b=1，2，3，然后分類討論：當b=1時，ac=12，；當b=2時，ac=8；當b=3時，ac=4，再利用整數的整除性求出a、c的值，然后利用三角形三邊的關系確定滿足條件的a、b、c的值．

解：（1）△=b2﹣4a（﹣c）=b2+4ac，

∵a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，即a、b、c都是正數，

∴△＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根；

故答案為：②；

（2）連接OA，如圖，

∵BD⊥AC，∠D=30°，

∴弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，∠DAC=60°，

∴AB=CB，∠ABD=∠DAC=60°，

∴△OAB為等邊三角形，

∴AB=OB=2，

∴AE=OB=，

∴AC=2AE=2，

即a=2，b=2，c=2，

方程cx2+bx﹣a=0變形為2x2+2x﹣2=0，

整理得方﹣1=0，

解得：，．

（3）把x=a代入cx2+bx﹣a=0得=0，

整理得=4﹣b，則4﹣b＞0，

即b＜4，

∵a、b、c的長均為整數，

∴b=1，2，3，

當b=1時，ac=12，則a=1，c=12；a=2，c=6；a=3，c=4；a=6，c=2；a=12，c=1，都不符合三角形三邊的關系，舍去；

當b=2時，ac=8，則a=1，c=8；a=2，c=4；a=4，c=2；a=8，c=1，都不符合三角形三邊的關系，舍去；

當b=3時，ac=4，則a=1，c=4；a=2，c=2；a=4，c=1，其中a=2，c=2符合三角形三邊的關系，

∴a=2，b=3，c=2．