Question

【題目】如圖，在中，于點，于點，為邊的中點，連接，則下列結論：①，②，③為等邊三角形，④當時，.請將正確結論的序號填在橫線上__.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①；

②先證明△ABM∽△ACN，再根據相似三角形的對應邊成比例可判斷②；

③先根據直角三角形兩銳角互余的性質求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據三角形的內角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③；

④當∠ABC=45°時，∠BCN=45°，進而判斷④．

①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，

∴PM=BC，PN=BC，

∴PM=PN，正確；

②在△ABM與△ACN中，

∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，

∴△ABM∽△ACN，

∴，錯誤；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，

∴∠ABM=∠ACN=30°，

在△ABC中，∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°，

∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，

∴PM=PN=PB=PC，

∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，

∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等邊三角形，正確；

④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N，

∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，

∵P為BC中點，可得BC=PB=PC，故④正確．

所以正確的選項有：①③④

故答案為：①③④