Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE、始終經過點A，EF與AC交于M點．

（1）求證：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）由AB=AC，根據等邊對等角，可得∠B=∠C，再結合△ABC≌△DEF與三角形外角的性質，可得∠CEM=∠BAE，即可證得結論；（2）能，BE=1或

試題分析：（1）由AB=AC，根據等邊對等角，可得∠B=∠C，再結合△ABC≌△DEF與三角形外角的性質，可得∠CEM=∠BAE，即可證得結論；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質求解即可得到答案.
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
當AE=EM時，則△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
當AM=EM時，則∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴CE=，
∴BE=6﹣=.
點評：此題難度較大，注意數形結合思想、分類討論思想與函數思想的應用是解答本題的關鍵．