Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（0，3），且當x=1時，y有最小值2．

（1）求a，b，c的值
（2）設二次函數y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k為實數），它的圖象的頂點為D．
①當k=1時，求二次函數y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象與x軸的交點坐標；
②請在二次函數y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上各找出一個點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關于x軸對稱，直接寫出點M，N的坐標（點M在點N的上方）；
③過點M的一次函數y=﹣x+t的圖象與二次函數y=ax2+bx+c的圖象交于另一點P，當k為何值時，點D在∠NMP的平分線上？
④當k取﹣2，﹣1，0，1，2時，通過計算，得到對應的拋物線y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的頂點分別為（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），請問：頂點的橫、縱坐標是變量嗎？縱坐標是如何隨橫坐標的變化而變化的？

Answer 1

【答案】
（1）

解：設y=a（x﹣1）2+2，將（0，3）代入，得a=1，

∴y=（x﹣1）2+2，即y=x2﹣2x+3，

∴a=1，b=﹣2，c=3

（2）

解：①當k=1時，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得x=2±，即圖象與x軸的交點坐標（2+，0），（2﹣，0）；

②y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）當經x=﹣1時，y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關于x軸對稱，

∴M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6），

③y=﹣x+t，經過（﹣1，6），得t=，

∴y=﹣x+，則A（7，0），

∵MN⊥x軸，

∴E點的橫坐標為﹣1，

∴AE=8，

∵ME=6，

∴MA=10．

如圖1，設MD交AE于點B，作BC⊥AM于點C，

∵MD平分∠NMP，MN⊥x軸，

∴BC=BE，設BC=x，則AB=8﹣x，顯然△ABC∽△AME，

∴=，則x=3．得點B（2，0），

∴MD的函數表達式為y=﹣2x+4．

∵y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）=﹣[x﹣（k+1）]2+（k+1）2+2k﹣3．

把D（k+1，k2+2k+1+2k﹣3），代入y=﹣2x+4．得k=﹣3±，

由y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）有意義可得k=﹣3+，

④是．

當頂點的橫坐標大于﹣1時，縱坐標隨橫坐標的增大而增大，

當頂點的橫坐標小于﹣1時，縱坐標隨橫坐標的增大而減小．

【解析】（1）利用頂點式的解析式求解即可；
（2））①當k=1時，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得x的值，即可得出圖象與x軸的交點坐標；
②y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）當經x=﹣1時，y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關于x軸對稱，可得M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）；
③由y=﹣+t，經過（﹣1，6），可得t的值，由MN⊥x軸，可得E點的橫坐標為﹣1，可得出AE，ME，MA的值．設MD交AE于點B，作BC⊥AM于點C，設BC=x，則AB=8﹣x，顯然△ABC∽△AMN，可求出x的值，即可得出MD的函數表達式為y=﹣2x+4．再把點D代入，即可求出k的值；
④觀察可得出當頂點的橫坐標大于﹣1時，縱坐標隨橫坐標的增大而增大，當頂點的橫坐標小于﹣1時，縱坐標隨橫坐標的增大而減小．