Question

【題目】如圖：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)y=﹣x+7的圖象交于點(diǎn)A．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在y軸上確定點(diǎn)M，使得△AOM是等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖、設(shè)x軸上一點(diǎn)P（a，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線（垂線位于點(diǎn)A的右側(cè)），分別交y= 和y=﹣x+7的圖象于點(diǎn)B、C，連接OC，若BC= OA，求△ABC的面積及點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，設(shè)直線y=﹣x+7交x軸于點(diǎn)D，在直線BC上確定點(diǎn)E，使得△ADE的周長最小，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：聯(lián)立得： ，

解得： ，

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4）

（2）解：根據(jù)勾股定理得：OA= =5，

如圖1所示，分四種情況考慮：

當(dāng)OM1=OA=5時(shí)，M1（0，5）；

當(dāng)OM2=OA=5時(shí)，M2（0，﹣5）；

當(dāng)AM3=OA=5時(shí)，M3（0，8）；

當(dāng)OM4=AM4時(shí)，M4（0， ），

綜上，點(diǎn)M為（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0， ）

（3）解：設(shè)點(diǎn)B（a， a），C（a，﹣a+7），

∵BC= OA= ×5=14，

∴ a﹣（﹣a+7）=14，

解得：a=9，

過點(diǎn)A作AQ⊥BC，如圖2所示，

∴S△ABC= BCAQ= ×14×（9﹣3）=42，

當(dāng)a=9時(shí)， a= ×9=12，﹣a+7=﹣9+7=﹣2，

∴點(diǎn)B（9，12）、C（9，﹣2）

（4）解：如圖3所示，作出D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)D′，連接AD′，與直線BC交于點(diǎn)E，連接DE，此時(shí)△ADE周長最小，

對于直線y=﹣x+7，令y=0，得到x=7，即D（7，0），

由（3）得到直線BC為直線x=9，

∴D′（11，0），

設(shè)直線AD′解析式為y=kx+b，

把A與D′坐標(biāo)代入得： ，

解得： ，

∴直線AD′解析式為y=﹣ x+ ，

令x=9，得到y(tǒng)=1，

則此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為（9，1）

【解析】（1）聯(lián)立正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式建立方程組，解方程組求解，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)。
（2）利用勾股定理求出OA的長，根據(jù)已知點(diǎn)M在x軸上，且△AOM是等腰三角形，分四種情況討論：當(dāng)OM1=OA=5時(shí)，當(dāng)OM2=OA=5時(shí)，當(dāng)AM3=OA=5時(shí)，當(dāng)OM4=AM4時(shí)，分別寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)。
（3）根據(jù)已知點(diǎn)P（a，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線（垂線位于點(diǎn)A的右側(cè)），設(shè)出B與C坐標(biāo)，表示出BC，由已知BC與OA關(guān)系，及OA的長求出BC的長，求出a的值，利用三角形的面積公式求出△ABC的面積，再求出a的值，即可確定出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)。
（4）作出D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)D′，連接AD′，與直線BC交于點(diǎn)E，連接DE，此時(shí)△ADE周長最小，先求出點(diǎn)D′的坐標(biāo)，再求出直線直線AD′解析式，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】掌握三角形的面積和等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道三角形的面積=1/2×底×高；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）．