Question

【題目】如圖，△ABC是鈍角三角形，，圓O是△ABC的外接圓，直徑PQ恰好經過AB的中點M，PQ與BC的交點為D，，l為過點C圓的切線，作，CF也為圓的直徑.

（1）證明：；

（2）已知圓O的半徑為3，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證得CF//DE得到∠BCF=∠CDE，再證出∠CED=∠CBF=90°即可得到答案；

（2）連接AF，先證得△ADB為等腰直角三角形，得到∠ADB=∠ADC=90°，再求出AC=CF×sin45°=，即可得到答案.

（1）∵CF為直徑，l為切線，

∴，

又∵，

∴CF//DE，

∴∠BCF=∠CDE.

又∠CED=∠CBF=90°，

∴；

（2）連接AF，

由題意得：∠CDP=∠BDM=45°，

∵M為弦AB的中點，

∴OM垂直平分線段AB，

∴∠ADM=∠BDM=45°，

∴△ADB為等腰直角三角形，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴，

∵∠AFC=∠ABC=45°，

∴AC=CF×sin45°=，

∴.