Question

【題目】我們定義：兩個二次項系數之和為1，對稱軸相同，且圖象與y軸交點也相同的二次函數互為友好同軸二次函數例如：的友好同軸二次函數為．

請你分別寫出，的友好同軸二次函數；

滿足什么條件的二次函數沒有友好同軸二次函數？滿足什么條件的二次函數的友好同軸二次函數是它本身？

如圖，二次函數：與其友好同軸二次函數都與y軸交于點A，點B、C分別在、上，點B，C的橫坐標均為，它們關于的對稱軸的對稱點分別為，，連結，，，CB．

若，且四邊形為正方形，求m的值；

若，且四邊形的鄰邊之比為1：2，直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】函數的友好同軸二次函數為；函數的友好同軸二次函數為；二次項系數為1的二次函數沒有友好同軸二次函數；二次項系數為的二次函數的友好同軸二次函數是它本身；的值為；的值為、、或．

【解析】

(1)根據友好同軸二次函數的定義，找出、的友好同軸二次函數即可；

(2)由二次項系數非零可得出二次項系數為1的二次函數沒有友好同軸二次函數，由友好同軸二次函數的定義可知：二次項系數為的二次函數的友好同軸二次函數是它本身；

(3)根據二次函數L_1的解析式找出其友好同軸二次函數L_2的函數解析式．

①代入a=3，利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點B、C、B'、C'的坐標，進而可得出BC、BB'的值，由正方形的性質可得出BC=BB'，即關于m的一元二次方程，解之取其大于0小于2的值即可得出結論；

②由m=1，利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點B、C、B'、C'的坐標，進而可得出BC、BB'的值，由兩邊之比為1：2，即可得出關于a的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論．

，

函數的友好同軸二次函數為；

，，

函數的友好同軸二次函數為．

，

二次項系數為1的二次函數沒有友好同軸二次函數；

，

二次項系數為的二次函數的友好同軸二次函數是它本身．

二次函數：的對稱軸為直線，其友好同軸二次函數：．

，

二次函數：，二次函數：，

點B的坐標為，點C的坐標為，

點的坐標為，點的坐標為，

，．

四邊形為正方形，

，即，

解得：，不合題意，舍去，

的值為．

當時，點B的坐標為，點C的坐標為，

點的坐標為，點的坐標為，

，．

四邊形的鄰邊之比為1：2，

或，即或，

解得：，，，，

的值為、、或．