Question

【題目】如圖，已知平行四邊形，過作于，交于，過作于，交于，連接、．

（1）求證：四邊形為平行四邊形；

（2）當為菱形，點為的中點時，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）見詳解 （2）30°

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知AE//CF，然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF，最后根據全等三角形的對應邊相等知AE=CF，所以對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（2）根據M是BC的中點，AM⊥BC(已知)，得到△ABC為等邊三角形，然后根據三線合一定理即可求解．

證明：（1）∵AM⊥BC，
∴∠AMB=90°，
∵CN⊥AD
∴∠CNA=90°．

∴CN∥AM
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，AD=BC
∴∠ADE=∠CBF，
∵AM∥CN，
又∵∠DAE=∠BCF=90°，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE=CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形;

（2）當AECF為菱形時，連結AＣ交BF于點Ｏ，則AＣ與EF互相垂直平分，
又∵OB＝OD

∴AC與BD互相垂直平方，

∴四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，

又∵AM⊥BC，AM=BM，AM=AM

∴△AMB≌△AMC(SAS)

∴AB=AC
即AB=AC=BC，

∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°

∴∠CBD=∠ABC=30°