Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.動點M從點B出發，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒，連接MN.

(1)若△BMN與△ABC相似，求t的值；

(2)連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

Answer 1

【答案】 (1) △BMN與△ABC相似時，t的值為或；(2) .

【解析】試題分析：(1)、根據Rt△ABC的勾股定理得出AB的長度，然后用含t的代數式分別表示BM、CN和BN的長度，然后根據兩種不同的相似得出t的值，得出答案；(2)、過點M作MD⊥CB于點D，從而得出△BDM和△BCA相似，從而求出DM、BD和CD的長度，然后根據垂直得出△CAN和△DCM相似，從而得出t的值．

試題解析：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴BA＝＝10(cm)．

由題意得BM＝3tcm，CN＝2tcm， ∴BN＝(8－2t)cm.

當△BMN∽△BAC時，＝， ∴＝，解得t＝；

當△BMN∽△BCA時，＝， ∴＝，解得t＝.

綜上所述，△BMN與△ABC相似時，t的值為或；

(2)如圖，過點M作MD⊥CB于點D，

∴∠BDM＝∠ACB＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDM∽△BCA，

∴＝＝. ∵AC＝6cm，BC＝8cm，BA＝10cm，BM＝3tcm，

∴DM＝tcm，BD＝tcm， ∴CD＝cm.

∵AN⊥CM，∠ACB＝90°， ∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，

∴∠CAN＝∠MCD. ∵MD⊥CB， ∴∠MDC＝∠ACB＝90°， ∴△CAN∽△DCM，

∴＝， ∴＝， 解得t＝．