Question

如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn)，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足為E、F．
（1）當(dāng)矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PEMF為矩形？猜想并證明你的結(jié)論．
（2）在（1）中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，矩形PEMF變?yōu)檎�方形，為什么�?/div>

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（1）當(dāng)AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形．
證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=

1

2

AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四邊形PEMF為矩形，
即當(dāng)AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形．

（2）當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時，矩形PEMF為正方形．
理由是：∵四邊形PEMF為矩形，
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°，
在△BFP和△CEP中

∠FBP=∠ECP ∠PFB=∠PEC BP=CP

，
∴△BFP≌△CEP（AAS），
∴PE=PF，
∵四邊形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時，矩形PEMF為正方形．

Answer 1

（1）當(dāng)AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形．
證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=

1

2

AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四邊形PEMF為矩形，
即當(dāng)AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形．

（2）當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時，矩形PEMF為正方形．
理由是：∵四邊形PEMF為矩形，
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°，
在△BFP和△CEP中

∠FBP=∠ECP ∠PFB=∠PEC BP=CP

，
∴△BFP≌△CEP（AAS），
∴PE=PF，
∵四邊形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時，矩形PEMF為正方形．