Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P（x1，y1）與P2（x2，y2）的“最佳距離”，給出如下定義：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“最佳距離”為|x1﹣x2|；

若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“最佳距離”為|y1﹣y2|；

例如：點P1（1，2），點P2（3，5），因為|1﹣3|＜|2﹣5|，所以點P1與點P2的“最佳距離”為|2﹣5|＝3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值（過點P1平行于x軸的直線與過點P2垂直于x軸的直線交于點Q）．

（1）已知點A（﹣，0），B為y軸上的一個動點．

①若點A與點B的“最佳距離”為3，寫出滿足條件的點B的坐標；

②直接寫出點A與點B的“最佳距離”的最小值；

（2）如圖2，已知點C是直線y＝x+3上的一個動點，點D的坐標是（0，1），求點C與點D的“最佳距離”的最小值及相應的點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B（0，3），（0，﹣3），；（2）.

【解析】

(1) ①點A與點B的橫坐標差的絕對值為，“最佳距離”為3，因此可以A、B縱坐標的差的絕對值為3，從而求出B點坐標的兩種情況；

②根據題意得：|﹣﹣0|≥|0﹣y|，求出“最佳距離”的最小值為

（2）設點C（m，m+3），且點D的坐標是（0，1），當|m﹣0|＝|m+3﹣1|＝|m+2|時，點C與點D的“最佳距離”有最小值，從而求出C點坐標.

解：（1）①∵點B為y軸上的一個動點

∴設點B的坐標為（0，y）

∵|﹣﹣0|＝≠3

∴|0﹣y|＝3

∴y＝±3

∴點B的坐標為（0，3），（0，﹣3）

②設點B的坐標為（0，y），

根據題意得：|﹣﹣0|≥|0﹣y|

∴|y﹣0|≤

∴點A與點B的“最佳距離”的最小值為

（2）∵點C是直線y＝x+3上的一個動點，

∴設點C（m，m+3），且點D的坐標是（0，1），

∴當|m﹣0|＝|m+3﹣1|＝|m+2|時，點C與點D的“最佳距離”有最小值，

當m≤﹣時，﹣m＝﹣m﹣2

解得：m＝10（不合題意舍去）

當﹣＜m＜0時，﹣m＝m+2

解得：m＝﹣

當m＞0時，m＝m+2

解得：m＝10

∴|m|＝10或

∴點C與點D的“最佳距離”的最小值為，

∴點C坐標為（﹣，）