Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，且∠BDC=120°，連接AC．

（1）求∠A的度數；
（2）若點D到BC的距離為2，那么⊙O的半徑是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，

∴OC⊥CD，OB⊥BD，

∴∠OCD=∠OBD=90°，

∵∠BDC=120°，

∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=60°，

∴∠A= ∠BOC=30°

（2）解：∵BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，

∴DC=DB，

∴∠DCB=∠DBC= （180°﹣120°）=30°，

過點D作DE⊥BC，垂足為E，則DE=2，

∵∠DBC=30°，

∴BD=2DE=4，

在直角△DEB中， ，

∴BC=2BE= ，

由（1）可知△OBC為等邊三角形，

∴OB=BC= ，

∴⊙O的半徑是 ．

【解析】（1）首先連接OC，由BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，可求得∠BOC的度數，然后由圓周角定理，求得答案；（2）首先求得∠DCB與∠DBC的度數，然后過點D作DE⊥BC，垂足為E，則DE=2，即可求得BE的長，繼而求得BC的長，然后由（1）可知△OBC為等邊三角形，即可求得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的相關知識，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．