Question

【題目】某企業生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等，如圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產品每千克生產成本y1（單位：元）、銷售價y2（單位：元）與產量x（單位：kg）之間的函數關系．
（1）請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；
（2）求線段AB所表示的y1與x之間的函數表達式；
（3）當該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產量為130kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為42元；
（2）解：設線段AB所表示的y1與x之間的函數關系式為y1=k1x+b1，

∵y1=k1x+b1的圖象過點（0，60）與（90，42），

∴

∴ ，

∴這個一次函數的表達式為；y1=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；

（3）解：設y2與x之間的函數關系式為y=k2x+b2，

∵經過點（0，120）與（130，42），

∴ ，

解得： ，

∴這個一次函數的表達式為y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），

設產量為xkg時，獲得的利潤為W元，

當0≤x≤90時，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，

∴當x=75時，W的值最大，最大值為2250；

當90≤x≤130時，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，

由﹣0.6＜0知，當x＞65時，W隨x的增大而減小，∴90≤x≤130時，W≤2160，

∴當x=90時，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，

因此當該產品產量為75kg時，獲得的利潤最大，最大值為2250．

【解析】（1）點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產量為130kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為42元；（2）根據線段AB經過的兩點的坐標利用待定系數法確定一次函數的表達式即可；（3）利用總利潤=單位利潤×產量列出有關x的二次函數，求得最值即可．