Question

【題目】如圖，在矩形中，.動點從點出發，沿以每秒4個單位長度的速度向終點運動.過點（不與點、重合）作，交或于點，交或于點，以為邊向右作正方形.設點的運動時間為秒.

（1）①_________________；

②當點在上時，用含的代數式直接表示線段的長.

（2）當點與點重合時，求的值；

（3）設正方形的周長為，求與之間的函數關系式；

（4）直接寫出對角線所在的直線將正方形分成兩部分圖形的面積比為1：2時的值.

Answer 1

【答案】（1）①15；②；（2）t＝；（3）；（4）或.

【解析】

（1）①由矩形的性質和勾股定理即可得出結果；

②先證明△APF∽△ADC，可得，進一步即可得出結果；

（2）當點F與點D重合時，如圖1，證明△APD∽△ADC，得出，進一步即可求得結果；

（3）分情況討論：

①當0＜t≤時，如圖2所示，由（1）②得：PF＝8t，同理可得：PE與t的關系，從而可得EF與t的關系，進而可得結果；

②當＜t≤3時，如圖3所示，此時EF的長與圖1中點F、D重合時DE的長相等，求出此時EF的長即可得出結果；

③當3＜t＜時，如圖4所示，同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，然后利用相似三角形的性質即可得出PF、PE與t的關系，進而可得EF與t的關系式，問題即得解決；

（4）由（2）題可知，對角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時，只有在圖3中可能出現，再分PE：PF＝1：2或PF：PE＝1：2兩種情況，利用相似三角形的性質和圖3的結論：EF=10討論求解即可．

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，

∴AC＝；

故答案為：15；

②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝6，

∵EF⊥AC，∴∠APF＝90°＝∠D，

∵∠PAF＝∠DAC，∴△APF∽△ADC，

∴，即，解得：PF＝8t；

（2）當點F與點D重合時，如圖1所示：

∵∠APD＝∠ADC＝90°，∠PAD＝∠DAC，

∴△APD∽△ADC，

∴，即，

解得：t＝；

（3）①當0＜t≤時，如圖2所示：

由（1）②得：PF＝8t，同理可求得：PE＝2t，∴EF＝10t，

∴l＝4EF＝40t；

②當＜t≤3時，如圖3所示：此時EF的長與圖1中點F、D重合時DE的長相等，

∴EF＝10t＝，∴l＝4×＝30．

③當3＜t＜時，如圖4所示：同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，

∴，，即，，

解得：PF＝（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），

∴EF＝PF+PE＝（15﹣4t），

∴l＝4×（15﹣4t）＝﹣40t+150；

綜上，與之間的函數關系式是：；

（4）由（2）題可知，對角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時，只有在圖3中可能出現，則PE：PF＝1：2，或PF：PE＝1：2，

①PE：PF＝1：2時，∵EF＝，∴PF＝EF＝5，

∵△CPF∽△CDA，∴，即，解得：PF＝（15﹣4t），

∴（15﹣4t）＝5，解得：t＝；

②PF：PE＝1：2時，PF＝EF＝，則（15﹣4t）＝，解得：t＝；

綜上所述，對角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時t的值為或．