Question

【題目】在一堂數學實踐課上，趙老師給出了下列問題：

提出問題

（1）如圖1，在△ABC中，E是BC的中點，P是AE的中點，就稱CP是△ABC的“雙中線”，∠ACB＝900，AC＝3，AB＝5．則CP＝___；

探究規律

（2）在圖2中，E是正方形ABCD一邊上的中點，P是BE上的中點，則稱AP是正方形ABCD的“雙中線”，若AB＝4．則AP的長為_____；

（3）在圖3中，AP是矩形ABCD的“雙中線”， 若AB＝4，BC＝6，請仿照（2）中的方法求出AP的長，并說明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）AP＝3

【解析】

（1）先根據勾股定理求出BC=4，再根據雙中線的定義得到E是BC的中點，故EC=2，利用勾股定理求出AE=，再根據直角三角形斜邊上的中線求出CP的長；

（2）根據圖中輔助線可證明△DEP≌△FBP，得到DE=BF,利用勾股定理求出DF的長，即可求出AP的長；

（3）連接DP并延長交AB的延長線于F ，證明△BPF≌△EPD，在Rt△ADF中，求出DF，在Rt△ADF中，求出AP.

解：（1）在Rt△ABC中，BC=,

∵CP是△ABC的“雙中線”，

∴E是BC的中點，故EC=2，

在Rt△ACE中，AE=

又P是AE中點，

所以CP＝AE= ；

（2）如圖2，連接DP，交AB延長線與F，∵CD∥AB,∴∠F=∠PDE, ∠PBF=∠PED,

又P是BE中點，∴BP=EP，∴△DEP≌△FBP

∴DE=BF

故AF=4+2=6，

在Rt△ADF中，DF=

又P為DF中點，∴AP=DF=

∴AP的長為；

（3）連接DP并延長交AB的延長線于F

∵矩形ABCD

∴AB∥CD

∴∠PBF＝∠PED，∠F＝∠PDE

∵P是BE的中點

∴PB＝PE

∴△BPF≌△EPD

∴BF＝DE＝CD＝2

在Rt△ADF中

DF＝

＝

＝6

在Rt△ADF中

AP＝DF＝3