Question

類比、轉化、分類討論等思想方法和數學基本圖形在數學學習和解題中經常用到，如下是一個案例，請補充完整。（原創）

原題：如圖1，在⊙O中，MN是直徑，AB⊥MN于點B，CD⊥MN于點D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，則BD=           。

⑴嘗試探究：如圖2，在⊙O中，MN是直徑，AB⊥MN于點B，CD⊥MN于點D，點E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，則CD=           （試寫出解答過程）。

⑵類比延伸：利用圖3，再探究，當A、C兩點分別在直徑MN兩側，且AB≠CD，AB⊥MN于點B，CD⊥MN于點D，∠AOC=90°時，則線段AB、CD、BD滿足的數量關系為       。

⑶拓展遷移：如圖4，在平面直角坐標系中，拋物線經過A（m，6），B（n，1）兩點（其中0＜m＜3），且以y軸為對稱軸，且∠AOB=90°，①求mn的值；②當S_△AOB=10時，求拋物線的解析式。

Answer 1

解：⑴原題：∵AB⊥MN，CD⊥MN，

∴∠ABO=∠ODC=90° ∠BAO+∠AOB=90°

∵∠AOC=90°    ∴∠DOC+∠AOB=90°

∴∠BAO=∠DOC  又∵OA=OC ∴△AOB≌△ODC（AAS）

∴OD=AB=3，OB=CD=4，∴BD=OB+OD=7

⑵嘗試探究：∵AB⊥MN，CD⊥MN，∴∠ABE=∠CDE=90°

∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEC=90°∴∠DEC+∠AEB=90°

∴∠BAE=∠DEC ∴△ABE∽△EDC

∴ ∵AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，

∴BE=2，DE=6 ∴ ∴CD=4

⑶類比延伸：如圖3（a）CD=AB+BD； 如圖3（b）AB=CD+BD

 

⑷拓展遷移：①作軸于C點，軸于D點，點坐標分別為，∴，又∵∠AOB=90°

∴∠BCO=∠ODA=90°，∠OBC=∠AOD ∴，

∴。

②由①得，，又，∴，

即，

又

∴坐標為（2，6），B坐標為（－3，1），代入得拋物線解析式為。