Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩 形DEFG，連接AG．

（1）求證：矩形DEFG是正方形；

（2）求AG+AE的值；

（3）若F恰為AB中點，連接DF交AC于點M，求ME的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AG+ AE＝4；（3）EM＝.

【解析】

（1）如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要證明△EMD≌△ENF即可解決問題；

（2）只要證明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解決問題；

（3）如圖，作EH⊥DF于H．想辦法求出EH，HM即可解決問題；

解：（1）如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EAD＝∠EAB，

∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，

∴EM＝EN，

∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，

∴四邊形ANEM是矩形，

∴∠MEN＝∠DEF＝90°，

∴∠DEM＝∠FEN，

∵∠EMD＝∠ENF＝90°，

∴△EMD≌△ENF，

∴ED＝EF，

∵四邊形DEFG是矩形，

∴四邊形DEFG是正方形；

（2）∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，

∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，

∴∠ADG＝∠CDE，

∴△ADG≌△CDE，

∴AG＝CE，

∴AE＋AG＝AE＋EC＝AC＝AD＝4；

（3）如圖，作EH⊥DF于H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝4，AB∥CD，

∵F是AB中點，

∴AF＝FB

∴DF＝，

∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，

∴DH＝HF，

∴EH＝DF＝，

∵AF∥CD，

∴△AFM∽△CDM，

∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，

∴FM＝，

∴HM＝HFFM＝，

在Rt△EHM中，EM＝．