Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，點D，E分別是BC，AB上的動點，將△BDE沿直線DE翻折，點B的對應點B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么CB′的值是________________．

Answer 1

【答案】3或3-3或0

【解析】

分三種情況討論：當AB'=EB'時，△AEB′是等腰三角形；當AE=AB'時，△AEB′是等腰三角形；當AE=B'E時，△AEB′是等腰三角形，分別根據等腰三角形的性質以及勾股定理進行計算，即可得到CB′的值．

解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6，

∴∠B=60°，BC=3，

分三種情況討論：

①如圖所示，當點D與點C重合時，∠B=∠CB'E=60°，

∵∠A=30°，

∴∠AEB'=30°，

∴∠A=∠AEB'，

∴AB'=EB'，即△AEB′是等腰三角形，

此時，CB'=BC=3；

②如圖所示，當AE=AB'時，△AEB′是等腰三角形，

∴∠AB'E=75°，

由折疊可得，∠DB'E=∠ABC=60°，

∴∠DB'C=45°，

又∵∠C=90°，

∴△DCB'是等腰直角三角形，

設CB'=x=DC，則BD=3﹣x=DB'，

∵Rt△DCB'中，x2+x2=（3﹣x）2，

解得x1=3﹣3，x2=﹣3﹣3（舍去），

∴CB'=3﹣3；

③如圖所示，當點B'與點C重合時，∠B=∠DCE=60°，

∴∠EB'A=30°=∠A，

∴AE=B'E，即△AEB′是等腰三角形，

此時CB'=0，

綜上所述，當△AEB′是等腰三角形時，CB′的值是3或3﹣3或0．

故答案為：3或3-3或0．