Question

【題目】如圖，銳角，，點是邊上的一點，以為邊作，使，．

（1）過點作交于點，連接（如圖①）

①請直接寫出與的數量關系；

②試判斷四邊形的形狀，并證明；

（2）若，過點作交于點，連接（如圖②），那么（1）②中的結論是否任然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①； ② 平行四邊形，證明見解析；（2）成立，證明見解析．

【解析】

（1）①根據，兩角有公共角，可證；

②連接EB，證明△EAB≌△DAC，可得,再結合平行線的性質和等腰三角形的判定定理可得EF=DC，由此可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形為平行四邊形．

（2）根據，可證明△AED和△ABC為等邊三角形，再根據ED∥FC結合等邊三角形的性質，得出∠AFC=∠BDA，求證△ABD≌△CAF，得出ED=CF，進而求證四邊形EDCF是平行四邊形．

解：（1）①，理由如下：

∵，，,

∴，

∴；

②證明：如下圖，連接EB,

在△EAB和△DAC中

∵

∴△EAB≌△DAC（SAS）

∴,

∵，

∴,

∴，

∵，

∴,

∴,

∴,

∴

∴四邊形為平行四邊形；

（2）成立；理由如下：
理由如下：

∵，

∴，

∵AE=AD，AB=AC，

∴△AED和△ABC為等邊三角形，

∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,

∵ED∥FC，
∴∠EDB=∠FCB，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB，
∴∠AFC=∠BDA，

在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴AD=FC，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四邊形EDCF是平行四邊形．