Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥BA交BA的延長線于點D．一正方形EFGH的一條邊EH與AC邊在一條直線上，另一條邊EF恰好經過點B．
（1）在圖1中，請你通過觀察、測量BE與CD的長度，猜想并寫出BE與CD滿足的數量關系，然后證明你的猜想；
（2）將正方形EFGH沿AC方向平移到圖2所示的位置時，EH邊仍與AC邊在同一直線上，另一條邊EF交BC邊于點M，過點M作MN⊥BA于點N．此時請你通過觀察、測量ME、MN與CD的長度，猜想并寫出ME、MN與CD之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想；
（3）將正方形EFGH沿CA方向平移到圖3所示的位置時，EH邊仍與AC邊在同一直線上，另一條邊EF的延長線交CB邊的延長線于點M，過點M作MN⊥AB交AB的延長線于點N．此時請你猜想并寫出ME、MN與CD之間滿足的數量關系，不需證明．

Answer 1

分析：（1）根據全等三角形的判定定理ASA推知△BEC≌△CDB，然后由全等三角形的對應邊相等證得BE=CD；
（2）作輔助線MK⊥CD于K構建矩形MNDK，然后理由矩形的對邊平行且相等、平行線的性質、已知條件AB=AC來證明△EMC≌△KCM（AAS）；最后利用全等三角形的性質推知ME=CK，所以CK+KD=ME+MN=CD，即ME+MN=CD；
（3）作輔助線“過C作CK⊥MN于K”構建矩形CKND．然后利用矩形CNKD、正方形EFGH的性質以及已知條件AB=AC推知△ECM≌△KCM，由全等三角形的對應邊相等知EM=KM，所以根據MK=MN+NK推知ME-MN=CD．

解答：解：（1）BE=CD…2分　　
證明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角）；
又∵CD⊥BA，BE⊥CE，
∴∠EBC=∠DCB（等角的余角相等）；
在△BEC和△CDB中，

∠EBC=∠DCB BC=CB(公共邊) ∠ECB=∠DBC

，
∴△BEC≌△CDB（ASA），
∴BE=CD（全等三角形的對應邊相等）；

（2）ME+MN=CD．…3分
證明：作MK⊥CD于K．
∵MN⊥BA于N，∠D=90°，MK⊥CD，
∴四邊形MNDK為矩形．
∴MN=KD，MK∥BD．…4分
∴∠DBC=∠KMC．
∵AB=AC，
∴∠ECM=∠DBC=∠KMC．…5分
又∵∠E=∠MKC=90°，CM=MC，
∴△EMC≌△KCM（AAS）．
∴ME=CK．…6分
∴CK+KD=ME+MN=CD，即ME+MN=CD．…7分

（3）ME-MN=CD．…8分
過C作CK⊥MN于K．
∵MN⊥BA，CD⊥BA，
∴四邊形CKND是矩形．…9分
∴CD=NK，CK∥BA．
∴∠MCK=∠DBC．
又∵AC=AB，
∴∠DCB=∠BCA．
又∵∠ECM=∠BCA，
∴∠ECM=∠MCK．
∵正方形EFGH，
∴∠HEF=∠MEC=90°．
又∵MC=MC，
∴△ECM≌△KCM．
∴EM=KM．…11分
又∵MK=MN+NK，
∴ME-MN=CD．…12分

點評：本題綜合考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、正方形的性質．在證明（2）、（3）的結論時，都是通過作輔助線構建矩形來推理三角形全等的．