Question

如圖在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OC=6，對角線OB所在直線的函數解析式為y=

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x．
（1）直接寫出C點的坐標；
（2）若D是BC邊上的點，過D作DE⊥OB于E，已知DE=3.6．
①求出CD的長；
②以點C為圓心，CD長為半徑作⊙C、試問在對角線OB上是否存在點P，使得以點P為圓心的⊙P與⊙C、x軸都相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意，點C在y軸上且OC=6，故點C的坐標為（0，6）；
（2）①依題意可得∠OCB=90°，利用勾股定理求出OB的值，然后證明△COB∽△EDB，利用線段比求出CD的長；
②過P作PM⊥OA于M、PN⊥OC于N，設點P橫坐標為m，得出OM=NP=m，ON=MP=

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m，CN=6-

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m．當⊙P與⊙C外切、與x軸相切時，PC=

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m+2，然后利用勾股定理列等式解出m值．當⊙P與⊙C內切、與x軸相切時，m²-6m+32=0得出△=6²-4×1×32＜0所以此一元二次方程沒有實數解．選出符合條件的點P坐標即可．

解答：解：（1）C（0，6）；

（2）①在矩形OABC中，∠OCB=90°，
∵OA=BC=8；
∴OB=

OC2+BC2

=10，
在△COB和△EDB中，∠CBO=∠EBD，∠OCB=90°=∠DEB，
∴△COB∽△EDB，
∴

DE

OC

=

BD

BO

，
CD=2；
②如圖，過P作PM⊥OA于M、PN⊥OC于N，設點P橫坐標為m，
∵點P在直線y=

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x上，
∴OM=NP=m，ON=MP=

3

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m，
CN=6-

3

4

m，
當⊙P與⊙C外切、與x軸相切時，PC=

3

4

m+2，
在Rt△PCN中，PN²+CN²=PC²m2+(6-

3

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m)2=(

3

4

m+2)2，
∴m²-12m+32=0，
解得m₁=4，m₂=8，
∴P₁（4，3），P₂（8，6），
同理，當⊙P與⊙C內切、與x軸相切時，m2+(6-

3

4

m)2=(

3

4

m-2)2m²-6m+32=0，
∵△=6²-4×1×32＜0，
∴此一元二次方程沒有實數解，
使⊙P與⊙C內切、與x軸相切的點P不存在．
∴符合條件的點P是P₁（4，3），P₂（8，6）．

點評：本題綜合考查的是一次函數與圓相結合的運用，難度較大．