Question

如圖在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（-1，0），如圖所示點B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）求點B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉90°到達△AB′C′的位置，請寫出點B′坐標

（1，-1）

，點C′坐標

（2，1）

；判斷點B′

在

，C′

在

（填“在”或“不”）在（2）中的拋物線上．

Answer 1

分析：（1）根據題意，過點B作BD⊥x軸，垂足為D；根據角的互余的關系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標；
（2）根據拋物線過B點的坐標，可得a的值，進而可得其解析式；
（3）本題的關鍵是求出B′，C′兩點的坐標．過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，過點C″作C″P⊥y軸于點P．然后仿照（1）中求坐標時的方法，通過證Rt△AB′M≌Rt△BAN來得出B′的坐標．同理可得出C′的坐標．然后將兩點的坐標分別代入拋物線的解析式中，進而可判斷出兩點是否在拋物線上．

解答：解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴點B的坐標為（-3，1）；

（2）∵拋物線y=ax²+ax-2經過點B（-3，1），
∴1=9a-3a-2，解得a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（3）如圖，過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，過點C″作C″P⊥y軸于點P，
在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵∠AMB'=∠ANB=90°，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴∠ABN=∠B′AM，
在Rt△AB′M與Rt△BAN．
∵

∠AB′M=∠BAN AB=AB′ ∠ABN=∠B′AM

，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得點C′（2，1）；
將點B′、C′的坐標代入y=x²+x-2，可知點B′、C′在拋物線上．
故答案為：（1，-1），（2，1），在，在．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，重點考查的是待定系數法求二次函數解析式、三角形全等、圖形旋轉變換等重要知識點；綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．