Question

如圖在平面直角坐標系中，M為x軸上一點，⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸于C、D兩點，P為

BC

上的一個動點，CQ平分∠PCD交AP于Q，A（-1，0），M（1，0）．
（1）求C點坐標；
（2）當點P在

BC

上運動時，線段AQ的長是否改變？若不變，請求出其長度；若改變，請說明理由．（提示：連接AC）．
（3）當點P在

BC

上運動時，是否存在這樣的點P，使CQ所在直線經過點M？若存在請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）連接MC，由A、M的坐標可得出OA、OM、以及MA的值，再在Rt△OCM中，OC=

3

，從而求出點C的坐標；
（2）作輔助線，連接AC，根據圓周角推論，等弧所對的圓周角相等，可得：∠ACD=∠P，又CQ平分∠OCP，可得：∠PCQ=∠OCQ，故：∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P，即∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC=2為定值；
（3）假設存在這樣的點P滿足條件，則點C、Q、M三點共線，所以CM平分平分∠PCD．由特殊角的三角形函數值求得∠OCM=30°，則易求∠DCP=60°．據此可以求得點P的坐標．

解答：解：（1）如圖1，連接MC．
∵A（-1，0），M（1，0），
∴OA=OM=1，MA=CM=2．
在Rt△OCM中，OM=1，CM=2，
根據勾股定理得：OC=

CM2-OM2

=

3

，
∴點C的坐標是（0，

3

）；

（2）如圖1，連接AC．當P點運動時，線段AQ的長度不改變．理由如下：
由垂徑定理知：

AC

=

AD

，
∴∠P=∠ACD，
∵CQ平分∠PCD，
∴∠P+∠PCQ=∠ACD+∠DCQ，
即：∠AQC=∠ACQ，
∴AQ=AC．
在Rt△OCA中，OC=

3

，OA=1，
∴AC=2．即線段AQ的長度為2．

（3）當點P在

BC

上運動時，存在這樣的點P，使CQ所在直線經過點M．理由如下：
假設當點P在

BC

上運動時，存在這樣的點P，使CQ所在直線經過點M．則點C、Q、M三點共線，
∵CQ平分∠PCD，
∴CM平分平分∠PCD．
在直角△OCM中，OM=1，OC=

3

，則tan∠OCM=

OM

OC

=

3

3

，
∴∠OCM=30°，
∴∠MCP=∠MPC=30°．
∴∠CMP=180°-2×30°=120°，
∴∠AMC=60°．
又∵∠APC=

1

2

∠AMC=30°，
∴∠APC=∠MPC，則點M、Q重合，即P與點B重合，
∴AP=4，
∴AQ=AM=2，這與線段AQ的長是2相一致，
∴當點P在

BC

上運動時，存在這樣的點P，使CQ所在直線經過點M，此時P（3，0）．

點評：本題考查圓的綜合題．解此類問題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構建在一個直角三角形里，運用勾股定理求解．