Question

證明：
（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，延長BC至D，使CD=BC，點E在邊AC上，以CE、CD為鄰邊作?CDFE，過點C作CG∥AB交EF于點G．連接BG、DE．
①∠ACB與∠GCD有怎樣的數量關系？請說明理由．
②求證：△BCG≌△DCE．
（2）如圖2，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
①試說明AC=EF；
②求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

證明：（1）①∠ACB=∠GCD．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CG∥AB，
∴∠ABC=∠GCD，
∴∠ACB=∠GCD；

②∵四邊形CDFE是平行四邊形，
∴∠CEG=∠ACB，∠CGE=∠GCD，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
∵∠ACB+∠ECG=∠ECG+∠GCD，
即∠BCG=∠ECD，
在△BCG和△DCE中，
∵，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；

（2）①∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF，且AB=2AF，
∴AF=CB，
而∠ACB=∠AFE=90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；

②由①知道AC=EF，
而△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．
分析：（1）①由AB=AC與CG∥AB，根據等邊對等角與平行線的性質，易求得∠ACB=∠GCD；
②易證得CE=CD，∠BCG=∠ECD，然后由SAS證得：△BCG≌△DCE；
（2）①首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可證明AC=EF；
②根據①知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．
點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及等邊三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．