Question

19、已知：如圖所示，直線MA∥NB，∠MAB與∠NBA的平分線交于點C，過點C作一條直線l與兩條直線MA、NB分別相交于點D、E．

（1）如圖1所示，當直線l與直線MA垂直時，猜想線段AD、BE、AB之間的數量關系，請直接寫出結論，不用證明；
（2）如圖2所示，當直線l與直線MA不垂直且交點D、E都在AB的同側時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由；
（3）當直線l與直線MA不垂直且交點D、E在AB的異側時，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，那么線段AD、BE、AB之間還存在某種數量關系嗎？如果存在，請直接寫出它們之間的數量關系．

Answer 1

分析：（1）根據各線段之間的長度，先猜想AD+BE=AB．
（2）在AB上截取AG=AD，連接CG，利用三角形全等的判定定理可判斷出AD=AG．同理可證，BG=BE，即AD+BE=AB．
（3）畫出直線l與直線MA不垂直且交點D、E在AB的異側時的圖形，分兩種情況討論：
①當點D在射線AM上、點E在射線BN的反向延長線上時；
②點D在射線AM的反向延長線上，點E在射線BN上時；
AD，BE，AB之間的關系．

解答：解：（1）AD+BE=AB．

（2）成立．
（方法一）：在AB上截取AG=AD，連接CG．
∵AC平分∠MAB，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AC=AC，AD=AG，
∴△ADC≌△AGC（SAS），
∴∠DCA=∠ACG，
∵AM∥BN，
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°，
∵∠DAC=∠CAB，∠GBC=∠CBE，
∴∠CAB+∠GBC=90°，
∴∠ACB=90°即∠ACG+∠GCB=90°，
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠GCB=∠ECB，
∵∠ABC=∠CBE，BC=BC，
∴△BGC≌△BEC．
∴BG=BE，
∴AD+BE=AG+BG，AD+BE=AB．

（方法二）：過點C作直線FG⊥AM，垂足為點F，交BN于點G．作CH⊥AB，垂足為點H．
由（1）得AF+BG=AB，
∵AM∥BN，∠AFG=90°，
∴∠BGF=∠FGE=90°，
∵∠DAC=∠CAB，∠ABC=∠CBE，
∴CF=CH，CH=CG，
∴CF=CG，
∵∠FCD=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE．
∴DF=EG，
∴AD+BE=AF+BG=AB．
（方法三）：延長GC，交AM于點F．
∵AM∥BN，
∴∠FCD=∠CBG，
∵∠CBH=∠CBG，
∴∠FCD=∠CBH，
∴AF=AB，
∵∠DAC=∠CAB，AC=AC，
∴△AFC≌△ABC，CF=CB，
∵∠ECG=∠BCG，
∴△FCD≌△BCE，
∴DF=BE，
∴AD+BE=AD+DF=AF=AB．

（3）不成立．
存在．當點D在射線AM上、點E在射線BN的反向延長線上時（如圖①），AD-BE=AB．
當點D在射線AM的反向延長線上，點E在射線BN上時（如圖②），BE-AD=AB．

點評：此題很復雜，解答此題的關鍵是作出輔助線，利用全等三角形的判定定理及性質解答，解答（3）時注意分兩種情況討論，不要漏解．