Question

在△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，BC=k•AC，CD=k•CE．
（1）如圖1，當k=1時，AE與BD的數量關系是：

 

，位置關系是：

 

；
（2）如圖2，當k≠1時，請探索AE與BD的關系，并證明；
（3）如圖3，在（2）的條件下，分別在BD、AE上取點M、N，使得BD=m•MD，AE=m•NE，試探索CN與CM的關系，并證明．

Answer 1

分析：（1）取k=1時，BC=AC，CD=CE．由∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，得知∠BCD=∠ACE，從而證明△ACE≌△BCD（SAS）；然后根據全等三角形的對應變相等，對應角相等求得AE=BD，∠CAE=∠CBD；最后延長AE交BD于點G構建三角形ABG，根據三角形的內角和求得∠AGB=90°，即AE⊥BD；
（2）當k≠1時，BC=k•AC，CD=k•CE．求得

BC

AC

=

CD

CE

=k，由∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，得知∠BCD=∠ACE，從而證明△ACE∽△BCD（SAS）；然后根據相似三角形的對應變相等，對應角相等求得AE=BD，∠CAE=∠CBD；最后延長AE交BD于點G構建三角形ABG，根據三角形的內角和求得∠AGB=90°，即AE⊥BD；
（3）在（2）的基礎上，求得△ACE∽△BCD，又BD=m•MD，AE=m•NE，所以

CE

CD

=

NE

MD

，∠CDB=∠CEA，從而證明△CNE∽△CMD（SAS），然后根據相似三角形的對應角相等求得∠BCM=∠ACN，所以∠NCM=∠BCN+∠ACE=∠ACB=90°，即∠NCM=90°．

解答：解：（1）當k=1時，BC=AC，CD=CE．
在△ACE與△BCD中，
∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
BC=AC，CD=CE，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
∴AE=BD（對應邊相等），
∠CAE=∠CBD（對應角相等）；
延長AE交BD于點G．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°；
在△ABG中，
∠ABG+∠BAG=∠ABC+∠BAG+∠CBD=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AG⊥BD，即AE⊥BD；

（2）當k≠1時，BC=k•AC，CD=k•CE．
在△ACE與△BCD中，
∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，

BC

AC

=

CD

CE

=k，
∴△ACE∽△BCD（SAS）；
∴∠CAE=∠CBD（對應角相等）；
延長AE交BD于點G．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°；
在△ABG中，
∠ABG+∠BAG=∠ABC+∠BAG+∠CBD=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AG⊥BD，即AE⊥BD；

（3）CN⊥CM．
證明：∵△ACE∽△BCD（SAS），
∴∠CDB=∠CEA（相似三角形的對應角相等），
∴

CE

CD

=

AE

BD

（相似三角形的對應邊成比例）；
又∵BD=m•MD，AE=m•NE，
∴

AE

BD

=

NE

MD

，
∴

CE

CD

=

NE

MD

；
在△CNE和△CMD中，

CE

CD

=

NE

MD

，∠CDB=∠CEA，
∴△CNE∽△CMD（SAS），
∴∠MCD=∠NCE；
∴∠BCM=∠ACN，
∴∠NCM=∠BCN+∠ACE=∠ACB=90°，即∠NCM=90°，
∴CN⊥CM．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質．解答此題時，關鍵是根據全等三角形或相似三角形的對應角相等求得∠AGB=90°，∠NCM=90°．從而證明AE⊥BD，CN⊥CM．