Question

【題目】如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個根是x1＝2和x2＝4，則方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．

（1）根據上述定義，一元二次方程2x2+x﹣1＝0　 （填“是”或“不是”）“倍根方程”．

（2）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，則c＝　 ．

（3）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，則a、b、c之間的關系為　 ．

（4）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代數式4m2﹣5mn+n2的值．

Answer 1

【答案】（1）不是 ；（2）2；（3）2b2＝9ac；（4）0．

【解析】

（1）根據“倍根方程”的定義即可得出結論；
（2）根據倍根方程的定義以及根與系數的關系即可求出答案；
（3）設x=m與x=2m是方程ax2+bx+c=0的解，然后根據根與系數的關系即可求出答案；
（4）根據定義可求出n=4m或n=m，代入原式后即可求出答案．

解：（1）2x2+x﹣1＝0，

（2x﹣1）（x+1）＝0，

解得x1＝和x2＝﹣1，

故一元二次方程2x2+x﹣1＝0 不是（填“是”或“不是”）“倍根方程”；

（2）由題意可知：x＝m與x＝2m是方程x2﹣3x+c＝0的解，

∴2m+m=3，2m2=c，

∴m＝1，c＝2；

（3）設x＝m與x＝2m是方程ax2+bx+c＝0的解，

∴2m+m=，2m2=，

∴消去m得：2b2＝9ac；

（4）由（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，

且該方程的兩根分別為x＝2和x＝，

∴＝4或＝1，即n＝4m或n＝m，

當n＝4m時，

原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0

當n＝m時，

原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0．