Question

【題目】如圖①，直線AB的解析式為y＝﹣x+4，拋物線y＝﹣+bx+c與y軸交于點A，與x軸交于點C（6，0），點P是拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P在第一象限內時，求△ABP面積的最大值，并求此時點P的坐標；

（3）如圖②，當點P在y軸右側時，過點A作直線l∥x軸，過點P作PH⊥l于點H，將△APH繞點A順時針旋轉，當點H的對應點H′恰好落在直線AB上時，點P的對應點P′恰好落在坐標軸上，請直接寫出點P的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積最大值為8，；（3）或

【解析】

（1）先利用直線進行確定則A（0，4），然后利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）連接OP，設P（m，﹣m2+m+4），解方程﹣x+4＝0得B（3，0），根據三角形面積公式，利用面積的和差得到S△ABP＝S△AOP+S△POB﹣S△AOB＝×4m+×3（﹣m2+m+4）﹣×3×4，然后根據二次函數的性質解決問題；

（3）先利用勾股定理計算出AB＝5，討論：當點P′落在x軸上，如圖2，根據旋轉的性質得＝4﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣m，AH′＝AH＝m，∠P′H′A＝∠PHA＝90°，再證明△BP′H′∽△BAO，利用相似得到BH′＝m2﹣m，然后利用AH′+BH′＝AB得到m+m2﹣m＝5，解方程求出m即可得到P點橫坐標；當點P′落在y軸上，如圖3，同理可得P′H′＝PH＝m2﹣m，AH′＝AH＝m，∠P′H′A＝∠PHA＝90°，通過證明△AH′P′′∽△AOB，然后利用相似比得到（m2﹣m）：3＝m：4，然后解關于m的方程即可得到對應P點橫坐標．

解：（1）當x＝0時，y＝﹣x+4＝4，則A（0，4），

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點A，與x軸交于點C（6，0），

∴，解得：，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+4；

（2）連接OP，

設P（m，﹣m2+m+4），

當y＝0時，﹣x+4＝0，解得x＝3，

則B（3，0），

∵S△ABP＝S△AOP+S△POB﹣S△AOB＝×4m+×3（﹣m2+m+4）﹣×3×4

＝﹣m2+4m，

＝﹣（m﹣4）2+8，

當m＝4時，△ABP面積有最大值，最大值為8，此時P點坐標為（4，4）；

（3）在Rt△OAB中，AB＝＝＝5，

當點落在x軸上，如圖2，

∵△APH繞點A順時針旋轉，使點H的對應點恰好落在直線AB上，同時恰好落在x軸上

∴＝PH＝4﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣m，＝AH＝m，＝∠PHA＝90°，

∵＝∠ABO，

∴∽△BAO，

∴：OA＝：OB，即（m2﹣m）：4＝：3，

∴＝m2﹣m，

∵，

∴m+m2﹣m＝5，

解得m1＝2，m2＝﹣2（舍去），

此時P點橫坐標為2；

當點P′落在y軸上，如圖3，

同理可得＝PH＝m2﹣m，＝AH＝m，＝∠PHA＝90°，

∵＝∠BAO，

∴∽△AOB，

∴：OB＝AH′：AO，即（m2﹣m）：3＝m：4，

整理得4m2﹣25m＝0，

解得m1＝，m2＝0（舍去），

此時P點橫坐標為；

綜上所述，P點橫坐標為2或．