Question

【題目】從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．

（1）如圖①，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD是△ABC的完美分割線；

（2）如圖②，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據三角形內角和定理求出∠ACB=80°，根據角平分線的定義得到∠ACD=40°，證明△BCD∽△BAC，即可得到結論；

（2）根據完美分割線的定義，以及△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，得到△BCD∽△BAC，從而，設BD=x，解方程求出x，根據相似三角形的性質定理列式計算即可．

（1）∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形．

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD是等腰三角形．

∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線；

（2）∵CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，∴△BCD∽△BAC，∴．

∵AC=AD=2，BC，設BD=x，則AB=4+x，∴，解得：x=﹣1±．

∵x＞0，∴BD=x=﹣1．

∵△BCD∽△BAC，∴．

∵AC=2，BC，BD=﹣1，∴CD．