Question

【題目】如圖①，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC垂足為D，弧AE＝弧AB，BE分別交AD、AC于點F、G．

（1）判斷△FAG的形狀，并說明理由；

（2）如圖②若點E與點A在直徑BC的兩側，BE、AC的延長線交于點G，AD的延長線交BE于點F，其余條件不變（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．

（3）在（2）的條件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直徑BC．

Answer 1

【答案】（1）△FAG是等腰三角形，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）BC＝．

【解析】

（1）首先根據圓周角定理及垂直的定義得到∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，從而得到∠BAD＝∠C，然后利用等弧對等角等知識得到AF＝BF，從而證得FA＝FG，判定等腰三角形；

（2）成立，同（1）的證明方法即可得答案；

（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，推出∠BAD＝∠ABG，得到F為BG的中點根據直角三角形的性質得到AF＝BF＝BG＝13，求得AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，根據勾股定理得到BD＝12，AB＝4，由∠ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°可證明△ABC∽△DBA，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）△FAG等腰三角形；理由如下：

∵BC為直徑，

∴∠BAC＝90°，

∴∠ABE+∠AGB＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝90°，

∵，

∴∠ABE＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠AGB，

∴FA＝FG，

∴△FAG是等腰三角形．

（2）成立，理由如下：

∵BC為直徑，

∴∠BAC＝90°，

∴∠ABE+∠AGB＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝90°，

∵，

∴∠ABE＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠AGB，

∴FA＝FG，

∴△FAG是等腰三角形．

（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，

∴∠BAD＝∠ABG，

∴AF＝BF，

∵AF＝FG，

∴BF=GF，即F為BG的中點，

∵△BAG為直角三角形，

∴AF＝BF＝BG＝13，

∵DF＝5，

∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，

∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，

∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，

∵∠ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴△ABC∽△DBA，

∴＝，

∴＝，

∴BC＝，

∴⊙O的直徑BC＝．