Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸從左到右交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D

（1）求直線AC的解析式與點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)E，作EF∥x軸，與拋物線交于點(diǎn)F，作EM⊥x軸于M，作FN⊥x軸于N，長(zhǎng)度為2的線段PQ在直線AC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)），當(dāng)四邊形EMNF的周長(zhǎng)取最大值求四邊形DPQE的周長(zhǎng)的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)D在直線AD上移動(dòng)，點(diǎn)D平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，△A′D′C是否能為直角三角形？若能，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的線段D′C的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）直線AC的解析式為：，；（2）四邊形DPQE的周長(zhǎng)的最小值是，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；（3）=或或3.

【解析】

(1)拋物線與x軸從左到右交于A、B兩點(diǎn)，只要令y=0，即可求出A、B兩點(diǎn)；與y軸交于點(diǎn)C，只要令x=0，即可求出點(diǎn)C；由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可得直線AC的解析；D的坐標(biāo)用頂點(diǎn)公式或者先求出對(duì)稱軸代入解析式，即可求出；

(2)作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E'(0,1)，將點(diǎn)E'沿AC方向平移個(gè)單位得到E″(2,3)，連接E″D交直線AC于點(diǎn)P，將點(diǎn)P向下平移個(gè)單位得到Q，則點(diǎn)Q為所求點(diǎn)即可求解，再根據(jù)個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求出四邊形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算周長(zhǎng)；

(3)分A'D'是斜邊、A'C是斜邊、CD'是斜邊三種情況，分別求解即可．

解：(1)∵拋物線與x軸從左到右交于A、B兩點(diǎn)，

∴令y=0，即，解得：，則

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，

∴

由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的解析式為：；

∵D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為：，

∴；

(2)設(shè)點(diǎn)，

∵拋物線的對(duì)稱軸為：，軸，

∴

四邊形的周長(zhǎng)，

當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)；

∵，；

∴；

∵且P、Q在上

∴P、Q兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)差為2，

作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，將點(diǎn)沿方向平移個(gè)單位得到，

由點(diǎn)坐標(biāo)得，直線的解析式為：；

聯(lián)立直線AC、直線的解析式并解得：，故點(diǎn)，

將點(diǎn)沿著直線CA向左向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)；

∵，，，；

∴，；

此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最小

；

(3)由待定系數(shù)法求得直線AD的解析式為：，則設(shè)拋物線向右平移m個(gè)單位，則向上平移2m個(gè)單位，

∴、，，

而點(diǎn)，

∴；

①當(dāng)是斜邊時(shí)，如圖2，

分別過(guò)點(diǎn)、作y軸的垂線交于點(diǎn)N、M，則，
則，即，
解得：(舍去)或；
②當(dāng)是斜邊時(shí)，如圖3，
過(guò)點(diǎn)作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)N，交過(guò)點(diǎn)作y軸的平行線于點(diǎn)M，

同理可得：，則，
即，解得：；
③當(dāng)是斜邊時(shí)，

同理可得：，解得：，

故或1或 1

則=或或3．