Question

13．八年級數學課上，王老師出示了如下框中的題目．

小聰與同桌小明討論后，進行了如下解答：
（1）特殊情況•探索結論
當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系．請你直接寫出結論：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例啟發•解答題目
解：如圖2，題目中，AE與DB的大小關系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
提示如下：過點E作EF∥BC，交AC于點F，（請你繼續完成以下的解答過程）
（3）拓展結論•設計新題
在等邊三角形ABC中，若點E在直線AB上，點D在直線CB上，且ED=EC．若△ABC的邊長為2，AE=4，則CD=2或6．（請你直接寫出結果）．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形性質和等腰三角形的性質求出∠EDB=∠BCE=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）當D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由三角形相似利用比例關系求出CD=6，當E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD=2．

解答 解：
（1）∵△ABC是等邊三角形，E為AB的中點，
∴∠BCE=30°，BE=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠BCE=30°，
∵∠ABD=120°，
∴∠DEB=30°，
∴DB=EB，
∴AE=DB，
故答案為：=；
（2）AE=DB．
如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F．

∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴△AEF是等邊三角形，AE=EF=AF．
∴BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D．
又∵∠ECF=60°-∠ECD，∠DEB=∠EBC-∠D=60°-∠D，
∴∠ECF=∠DEB．
在△BDE與△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠ECF=∠DEB}\\{ED=EC}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△FEC（SAS），
∴BD=EF=AE．
∴AE=DB．
故答案為：=；
（3）解：CD=6或2，
分為兩種情況：
①如圖3

過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{BM}{BN}$，
∴$\frac{2}{4-2}$=$\frac{1}{BN}$，
∴BN=1，
CN=2+1=3，
∴CD=2CN=6；
②如圖4，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BM}{BN}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{MN}$，
∴MN=2，
∴CN=2-1=1，
∴CD=2CN=2，
綜上所述CD=6或2，
故答案為：2或6．

點評 本題為三角形的綜合應用，涉及等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形外角的性質、相似三角形的判定和性質及分類討論思想等知識點．第（3）題是難點，解題的關鍵是確定出有2種情況，求出每種情況的CD值．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．