Question

【題目】已知AB∥CD，點E為平面內一點，BE⊥CE于E．

（1）如圖1，請直接寫出∠ABE和∠DCE之間的數量關系；

（2）如圖2，過點E作EF⊥CD，垂足為F，求證：∠CEF=∠ABE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，作EG平分∠CEF，交DF于點G，作ED平分∠BEF，交CD于D，連接BD，若∠DBE+∠ABD=180°，且∠BDE=3∠GEF，求∠BEG的度數．

Answer 1

【答案】（1）結論：∠ECD=90°+∠ABE．理由見解析；（2）見解析；（3）∠BEG=105°．

【解析】

（1）結論：∠ECD=90°+∠ABE．如圖1中，從BE交DC的延長線于H．利用三角形的外角的性質即可證明；

（2）只要證明∠CEF與∠CEM互余，∠BEM與∠CEM互余，可得∠CEF=∠BEM即可解決問題；

（3）如圖3中，設∠GEF=α，∠EDF=β．想辦法構建方程求出α即可解決問題

（1）結論：∠ECD=90°+∠ABE．

理由：如圖1中，延長BE交DC的延長線于H．

∵AB∥CH，

∴∠ABE=∠H，

∵BE⊥CE，

∴∠CEH=90°，

∴∠ECD=∠H+∠CEH=90°+∠H，

∴∠ECD=90°+∠ABE．

（2）如圖2中，作EM∥CD，

∵EM∥CD，CD∥AB，

∴AB∥CD∥EM，

∴∠BEM=∠ABE，∠F+∠FEM=180°，

∵EF⊥CD，

∴∠F=90°，

∴∠FEM=90°，

∴∠CEF與∠CEM互余，

∵BE⊥CE，

∴∠BEC=90°，

∴∠BEM與∠CEM互余，

∴∠CEF=∠BEM，

∴∠CEF=∠ABE．

（3）如圖3中，設∠GEF=α，∠EDF=β．

∴∠BDE=3∠GEF=3α，

∵EG平分∠CEF，

∴∠CEF=2∠FEG=2α，

∴∠ABE=∠CEF=2α，

∵AB∥CD∥EM，

∴∠MED=∠EDF=β，∠KBD=∠BDF=3α+β，∠ABD+∠BDF=180°，

∴∠BED=∠BEM+∠MED=2α+β，

∵ED平分∠BEF，

∴∠BED=∠FED=2α+β，

∴∠DEC=β，

∵∠BEC=90°，

∴2α+2β=90°，

∵∠DBE+∠ABD=180°，∠ABD+∠BDF=180°，

∴∠DBE=∠BDF=∠BDE+∠EDF=3α+β，

∵∠ABK=180°，

∴∠ABE+∠B=DBE+∠KBD=180°，

即2α+（3α+β）+（3α+β）=180°，

∴6α+（2α+2β）=180°，

∴α=15°，

∴∠BEG=∠BEC+∠CEG=90°+15°=105°．