Question

【題目】如圖，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，點A為CD延長線上一點，BC=AB，∠CAB=30°．

（1）求證:AB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】解：（1）證明：如圖，連接OB，

∵BC=AB，∠CAB=30°，∴∠ACB=∠CAB=30°。

又∵OC=OB，∴∠CBO=∠ACB=30°。

∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°。

在△ABO中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，∴∠ABO=90°，即AB⊥OB。

∴AB為圓O的切線。
（2）∵OB=2，∠BOD=60°，

∴的長度=。

（1）連接OB，如圖所示，由BC=AB，利用等邊對等角得到一對角相等，由∠CAB的度數(shù)得出

∠ACB的度數(shù)，再由OC=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，確定出∠CBO，由外角的性質(zhì)求出∠AOB的度數(shù)，在△AOB中，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABO為90°，可得出AB為圓O的切線。

（2）直接應(yīng)用弧長公式計算即可。