【題目】已知：如圖1，直線
，
所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法作出這兩條直線所成角的角平分線？
小明的做法是：
（1）如圖2，畫
；
（2）以
為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線，
于點
，
；
（3）連結
并延長交直線于點
；
請你先完成下面的證明，然后完成第（4）步作圖：
∵
∴
（ ）
∵以為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線，于點，
∴
∴
∴
∴以直線，的交點和點、為頂點所構成的三角形為等腰三角形（ ）
根據上面的推理證明完成第（4）步作圖
（4）請在圖2畫板內作出“直線，所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（畫板內的部分），尺規作出圖形，并保留作圖痕跡．
第（4）步這么作圖的理論依據是： ．
【答案】兩直線平行，同位角相等；
；等角對等邊；等腰三角形三線合一
【解析】
根據平行線的性質及圓的特點得到
，故可得以直線
，
的交點和點
、
為頂點所構成的三角形為等腰三角形，然后根據等腰三角形三線合一即可作圖．
（1）如圖2，畫
；
（2）以
為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線，
于點，
；
（3）連結
并延長交直線于點；
請你先完成下面的證明，然后完成第（4）步作圖：
∵
∴
（兩直線平行，同位角相等）
∵以為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線，于點，
∴
∴
∴
∴以直線，的交點和點、為頂點所構成的三角形為等腰三角形（等角對等邊）
根據上面的推理證明完成第（4）步作圖
（4）請在圖2畫板內作出“直線，所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（畫板內的部分），尺規作出圖形，并保留作圖痕跡．
第（4）步這么作圖的理論依據是：等腰三角形三線合一
故答案為：兩直線平行，同位角相等；；等角對等邊；等腰三角形三線合一．
名校課堂系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某玩具由一個圓形區域和一個扇形區域組成，如圖，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1與O2C、O2D分別切于點A、B，已知∠CO2D＝60°，E、F是直線O1O2與⊙O1、扇形O2CD的兩個交點，且EF＝24cm，設⊙O1的半徑為xcm，
（1）用含x的代數式表示扇形O2CD的半徑；
（2）若⊙O1和扇形O2CD兩個區域的制作成本分別為0.45元/cm2和0.06元/cm2，當⊙O1的半徑為多少時，該玩具的制作成本最小？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，拋物線
過點
，且與直線
交于B、C兩點，點B的坐標為
．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D為拋物線上位于直線
上方的一點，過點D作
軸交直線于點E，點P為對稱軸上一動點，當線段
的長度最大時，求
的最小值；
（3）設點M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點Q，使
？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知C為線段AB中點，∠ACM＝α．Q為線段BC上一動點（不與點B重合），點P在射線CM上，連接PA，PQ，記BQ＝kCP．
（1）若α＝60°，k＝1，
①如圖1，當Q為BC中點時，求∠PAC的度數；
②直接寫出PA、PQ的數量關系；
（2）如圖2，當α＝45°時．探究是否存在常數k，使得②中的結論仍成立？若存在，寫出k的值并證明；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】為進一步普及足球知識，傳播足球文化，某市在中小學舉行了“足球在身邊”知識競賽活動，各類獲獎學生人數的比例情況如圖所示，其中獲得三等獎的學生共50名，請結合圖中信息，解答下列問題：
（1）獲得一等獎的學生有 人；
（2）在本次知識競賽活動中，A，B，C，D 四所學校表現突出，現決定從這四所學校中隨機選取兩所學校舉行一場足球友誼賽，請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到A，B兩所學校的概率．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是小章為學校舉辦的數學文化節沒計的標志，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各邊為邊作三個正方形，點G落在HI上，若AC+BC＝6，空自部分面積為10.5，則陰影部分面積為______．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某校八年級體育科目訓練情況，從八年級學生中隨機抽取了部分學生進行了一次體育科目測試（把測試結果分為四個等級：A級：優秀；B級：良好；C級：及格；D級：不及格），并將測試結果繪成了如下兩幅不完整的統計圖
請根據統計圖中的信息解答下列問題：
（1）圖1中
的度數是__________，并把圖2條形統計圖補充完整．
（2）抽取的這部分的學生的體育科目測試結果的中位數是在__________級；
（3）依次將優秀、良好、及格、不及格記為90分、80分、70分、50分，請計算抽取的這部分學生體育的平均成績．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某市某特產專賣店銷售一種蜜棗，每千克的進價為10元，銷售過程中發現，每天銷量
與銷售單價x（元）之間關系可以近似地看作一次函數
.（利潤=售價-進價）
（1）寫出每天的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間函數解析式；
（2）當銷售單價定為多少元時，這種蜜棗每天能夠獲得最大利潤？最大利潤是多少元？
（3）物價部門規定，這種蜜棗的銷售單價不得高于30元.若商店想要這種蜜棗每天獲得300元的利潤，則銷售單價應定為多少元？
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