Question

【題目】如圖，拋物線過點，且與直線交于B、C兩點，點B的坐標為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D為拋物線上位于直線上方的一點，過點D作軸交直線于點E，點P為對稱軸上一動點，當線段的長度最大時，求的最小值；

（3）設點M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點Q，使？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式；（2）的最小值為；（3）點Q的坐標：、．

【解析】

（1）將點B的坐標為代入，，B的坐標為，將，代入，解得，，因此拋物線的解析式；

（2）設，則，，當時，有最大值為2，此時，作點A關于對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸交于點P．，此時最小；

（3）作軸于點H，連接、、、、，由，，可得，因為，，所以，可知外接圓的圓心為H，于是設，則，或，求得符合題意的點Q的坐標：、．

解：（1）將點B的坐標為代入，

，

∴B的坐標為，

將，代入，

解得，，

∴拋物線的解析式；

（2）設，則，

，

∴當時，有最大值為2，

此時，

作點A關于對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸交于點P．

，此時最小，

∵，

∴，

，

即的最小值為；

（3）作軸于點H，連接、、、、，

∵拋物線的解析式，

∴，

∵，

∴，

∵，

，

∴，

可知外接圓的圓心為H，

∴

設，

則，

或

∴符合題意的點Q的坐標：、．