Question

（2012•資陽）已知a、b是正實數，那么，

a+b

2

≥

ab

是恒成立的．
（1）由(

a

-

b

)2≥0恒成立，說明

a+b

2

≥

ab

恒成立；
（2）填空：已知a、b、c是正實數，由

a+b

2

≥

ab

恒成立，猜測：

a+b+c

3

≥

3	abc

也恒成立；
（3）如圖，已知AB是直徑，點P是弧上異于點A和點B的一點，PC⊥AB，垂足為C，AC=a，BC=b，由此圖說明

a+b

2

≥

ab

恒成立．

Answer 1

分析：（1）由（

a

-

b

）²≥0，利用完全平方公式，即可證得

a+b

2

≥

ab

恒成立；
（2）由a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）=

1

2

（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，可證得a³+b³+c³≥3abc，即可得

a+b+c

3

≥

3	abc

也恒成立；
（3）首先證得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的對應邊成比例，可求得PC的值，又由OP是半徑，可求得OP=

a+b

2

，然后由點到線的距離垂線段最短，即可證得

a+b

2

≥

ab

恒成立．

解答：解：（1）∵（

a

-

b

）²≥0，
∴a-2

ab

+b≥0，…（1分）
∴a+b≥2

ab

，…（2分）
∴

a+b

2

≥

ab

；…（3分）

（2）

3	abc

…（6分）
理由：a³+b³+c³-3abc
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）
=

1

2

（a+b+c）（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）
=

1

2

（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]
∵a、b、c是正實數，
∴a³+b³+c³-3abc≥0，
∴a³+b³+c³≥3abc，
同理：

a+b+c

3

≥

3	abc

也恒成立；
故答案為：

3	abc

；

（3）如圖，連接OP，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
又∵PC⊥AB，
∴∠ACP=∠APB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，
∴∠APC=∠B，
∴Rt△APC∽Rt△PBC，
∴

PC

AC

=

CB

PC

，
∴PC²=AC•CB=ab，
∴PC=

ab

，…（7分）
又∵PO=

a+b

2

，
∵PO≥PC，
∴

a+b

2

≥

ab

．…（8分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、幾何不等式的應用與證明以及完全平方公式等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數形結合思想的應用，注意完全平方式的非負性的應用．