Question

（2012•資陽）（1）如圖（1），正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結果（不必寫計算過程）；
（2）將圖（1）中的正方形AEGH繞點A旋轉一定角度，如圖（2），求HD：GC：EB；
（3）把圖（2）中的正方形都換成矩形，如圖（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此時HD：GC：EB的值與（2）小題的結果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結果（不必寫計算過程）．

Answer 1

分析：（1）首先連接AG，由正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，易證得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共線，繼而可得HD=BE，GC=

2

BE，即可求得HD：GC：EB的值；
（2）連接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE，利用相似三角形的對應邊成比例與正方形的性質，即可求得HD：GC：EB的值；
（3）由DA：AB=HA：AE=m：n，易證得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的對應邊成比例與勾股定理即可求得HD：GC：EB的值．

解答：解：（1）連接AG，
∵正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，
∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，
∴A，G，C共線，AB-AE=AD-AH，
∴HD=BE，
∵AG=

AE

sin45°

=

2

AE，AC=

AB

sin45°

=

2

AB，
∴GC=AC-AG=

2

AB-

2

AE=

2

（AB-AE）=

2

BE，
∴HD：GC：EB=1：

2

：1；

（2）連接AG、AC，
∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，
∴AD：AC=AH：AG=1：

2

，∠DAC=∠HAG=45°，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=1：

2

，
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
在△DAH和△BAE中，

AD=AB ∠DAH=∠BAE AH=AE

，
∴△DAH≌△BAE（SAS），
∴HD=EB，
∴HD：GC：EB=1：

2

：1；

（3）有變化，
連接AG、AC，DA：AB=HA：AE=m：n，
∵∠ADC=∠AHG=90°，
∴△ADC∽△AHG，
∴AD：AC=AH：AG=m：

m2+n2

，∠DAC=∠HAG，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=m：

m2+n2

，
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
∵DA：AB=HA：AE=m：n，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH：BE=AD：AB=m：n，
∴HD：GC：EB=m：

m2+n2

：n．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．