Question

【題目】已知拋物線L：y＝x2＋x－6與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），并與y軸相交于點C．

(1)求A、B、C三點的坐標，并求出△ABC的面積；

(2)將拋物線向左或向右平移，得到拋物線L，且L與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），并與y軸交于點C，要使△ABC和△ABC的面積相等，求所有滿足條件的拋物線的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)；15；（2）y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6．

【解析】（1）在拋物線解析式中分別令x=0、y=0即可求得拋物線與坐標軸的交點坐標，然后根據三角形面積公式即可求得三角形的面積；

（2）將拋物線向左或向右平移時，A、B兩點間的距離不變，始終為5，那么要使△ABC和△ABC的面積相等，高也只能是6，分點C在x軸上方與x軸下方兩種情況分別討論即可得.

（1）當y＝0時，x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2，

當x＝0時，y＝－6，

∴A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)，

∴S△ABC＝AB·OC＝×5×6＝15；

（2）將拋物線向左或向右平移時，A、B兩點間的距離不變，始終為5，

那么要使△ABC和△ABC的面積相等，高也只能是6，

設A(a，0)，則B(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，

當x＝0時，y＝a2＋5a，

當C點在x軸上方時，y＝a2＋5a＝6，a＝1或a＝－6，

此時y＝x2－7x－6或y＝x2＋7x－6；

當C點在x軸下方時，y＝a2＋5a＝－6，a＝－2或a＝－3，

此時y＝x2－x－6或y＝x2＋x－6(與原拋物線重合，舍去)；

所以，所有滿足條件的拋物線的函數表達式為：y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6．