Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點，分別在軸，軸正半軸上．

（1）的平分線與的外角平分線交于點，求的度數；

（2）設點，的坐標分別為，，且滿足，求的面積；

（3）在（2）的條件下，當是以為斜邊的等腰直角三角形時，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）1；（3）（1.5，1.5）或（-0.5，0.5）

【解析】

（1）根據角平分線的定義即可得出∠BAC=∠OAB、∠DBA=∠EBA，再根據三角形的外角的性質即可得出∠C=∠AOB=45°；
（2）利用非負數的性質求出a，b的值，即可求得的面積；

（3）作DE⊥x軸于E，DF⊥y軸與F，可得△DEB≌△DFA，則BE=AF，DF=DE，推出四邊形OEDF是正方形，OE=OF，設BE=AF=x，則OA-x=OB+x,求出x的值，即可得的坐標，同理求出點D1的坐標．

解：（1）∵AC平分∠OAB，BD平分∠EBA，
∴∠BAC=∠OAB、∠DBA=∠EBA，
∵∠EBA=∠OAB+∠AOB，
∴∠DBA=（∠OAB+∠AOB）=∠C+∠CAB，
∴∠C=（∠OAB+∠AOB）-∠CAB

=（∠OAB+∠AOB）-∠OAB

=∠AOB

=45°；

（2）∵且滿足，

∴

∴a=2，b=1，

∵點，的坐標分別為，，

∴OA=2，OB=1，

∴=；

（3）作DE⊥x軸于E，DF⊥y軸與F，

∵是以為斜邊的等腰直角三角形，

∴AD=BD，∠ADB=90°，

∵DE⊥x軸于E，DF⊥y軸與F，∠AOB=90°，

∴四邊形OEDF是矩形，∠BED=∠AFD=90°，

∴∠EDF=90°，

∴∠EDB=∠FDA，

∴△DEB≌△DFA，

∴BE=AF，DF=DE，

∴四邊形OEDF是正方形，

∴OE=OF，

設BE=AF=x，則OA-x=OB+x,

∵OA=2，OB=1，

∴x=0.5，OE=OF=1.5，

∴的坐標為（1.5，1.5），

同理可得PD1=0.5，OP=1.5-1=0.5，

D1的坐標為（-0.5，0.5），

即的坐標為（1.5，1.5）或（-0.5，0.5）．