Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C分別在坐標軸上，頂點B的坐標為（4，2），過點D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點M，N．

（1）求直線DE的解析式和點M的坐標；

（2）若反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點M，在該反比例函數的圖象上是否存在一點P，使△PMN的面積等于△OMN的面積的一半，若存在，求點P的坐標，若不存在，請說明理由．

（3）若反比例函數y=（x＞0）的圖象與△MNB有公共點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，2）；（2）（1，4）或（8，）；（3）4≤k≤8．

【解析】

對于（1）直接將點D，E坐標代入y=kx+b求出解析式，再將點M的縱坐標代入解析式可得答案；

對于（2），將點M坐標代入反比例函數關系式，求出m值，再根據已知條件轉化面積求出相關線段長度，進而解答；

對于（3），先求出當反比例函數圖象經過點M，B時m的值，進而得出范圍.

解：（1）設直線DE的解析式是y=kx+b，

根據題意得：，

解得：，

則直線DE的解析式是：y=﹣x+3，

令y=2，得到2=﹣x+3，解得：x=2，則M的坐標是（2，2）；

（2）把M（2，2）代入y=得；k=4，

則反比例函數的解析式是：y=，

當x=4時，y=﹣+3=1，則N（4，1），

∴MN==，

則△OMN的面積S=S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△BMN﹣S△OCN=2×4﹣﹣﹣=8﹣2﹣1﹣2=3，

∵S△PMN=S△OMN，

=，

=3，

PG=，

存在點P，設P（x，），過P作PG⊥MN于G，作PH⊥x軸于H，交直線DE于F，

∵∠PGF=∠DAM=90°，

∴∠GPF=∠DMA，

∴△PGF∽△MAD，

∴，

∴，

x=1或8，

∴P的坐標為：（1，4）或（8，）；

（3）經過M的反比例函數的解析式是：y=，同時經過點N，

經過點B的反比例函數的解析式是：y=，

則反比例函數y=（x＞0）的圖象與△MNB有公共點時，k的范圍是：4≤k≤8．